PSP-PAGFの定理

今日は少し変わった所で、「PSP-PAGFの定理」を紹介しよう。

って、ご存じないでしょう？　それは、

「全ての三角形は、正三角形である」

というものです。　定理と言っても使うのは「三角形の合同条件」のみ。　（中学生向き）

「えっ？　そんなバナナ！？！」と思われた方は、下記証明をトレースしてみて下さい。

（ご参考まで、作図しました。　ttp://f.hatena.ne.jp/PSP-PAGF/20150607173301　）

①　任意の三角形ABCの辺BCの中点DからBCの垂直二等分線を、頂Aから角Aの二等分線を引き、その交点をXとする。

②　Xから残りの辺ABとACに垂線を降ろし、交点を夫々、FとEとする。

証明（１）　直角三角形AFXとAEXとは、合同である。　なぜなら斜辺が共通で、３つの角が等しいから。

証明（２）　直角三角形BFXとCEXとは、合同である。　なぜなら斜辺と他の一辺が等しいから。　（証明（１）より、FXの長さとEXの長さは等しい。）

証明（３）　三角形ABCは、二等辺三角形である。　なぜなら辺AB（＝AF+FB）と辺AC（＝AE+EC）の長さが等しいから。　（証明（１）より、AF=AE。　証明（２）より、BF=CE）

証明（４）　任意の三角形ABCの任意の頂Aから行った事を頂Bから行えば、同様にAB=BC。

証明（５）　任意の三角形ABCは、正三角形である。　なぜなら証明（３）と（４）から、３辺の長さが等しいから。

以上です。　実はこの定理と証明をある掲示板にて紹介したら、ある読者から

「証明( 2 )　直角三角形BFXとCEXにおいて斜辺BX=斜辺CXは証明されていません」

との指摘がありましたので、私は次の様に回答した。

「ご指摘の通り証明を、飛ばしてしまいました。

証明(補) 垂直二等分線上(DX)の任意の点(X)は、両端(B、C)から等距離(BX=CX)にある。 なぜなら、直角三角形BDXとCDXとが合同だから。」